Жаңа

Толқындардың математикалық қасиеттері

Толқындардың математикалық қасиеттері

Физикалық толқындар, немесе механикалық толқындарЖердің қыртысы немесе газдар мен сұйықтықтардың бөлшектері ортаның тербелісі арқылы пайда болады. Толқындардың математикалық қасиеттері бар, оларды толқынның қозғалысын түсіну үшін талдауға болады. Бұл мақалада физикадағы нақты жағдайларды қалай қолданудың орнына, осы жалпы толқындық қасиеттер туралы айтылады.

Көлденең және бойлық толқындар

Механикалық толқындардың екі түрі бар.

А ортаның ауытқуы толқынның қозғалыс бағытымен перпендикуляр (көлденең) болатындығы. Периодтық қозғалыста жолды дірілдету, осылайша толқындар мұхиттағы толқындар сияқты көлденең толқын болып табылады.

А бойлық толқын ортаның ауытқуы толқынның өз бағытымен кері және артқа кететіндігінде. Ауа бөлшектері қозғалыс бағытында қозғалатын дыбыстық толқындар бойлық толқынның мысалы болып табылады.

Осы мақалада талқыланған толқындар ортадағы саяхатқа қатысты болса да, мұнда енгізілген математиканы механикалық емес толқындардың қасиеттерін талдау үшін қолдануға болады. Мысалы, электромагниттік сәулелену бос кеңістікте жүре алады, бірақ басқа толқындар сияқты бірдей математикалық қасиеттерге ие. Мысалы, дыбыстық толқындарға арналған Доплер эффектісі белгілі, бірақ жарық толқындары үшін Доплер эффектісі бар және олар бірдей математикалық принциптерге негізделген.

Толқындардың пайда болуына не себеп болады?

  1. Толқындарды ортада тыныштық күйінде болатын бұзылыс ретінде қарастыруға болады. Бұл бұзылыстың энергиясы толқындардың қозғалысын тудырады. Су бассейні толқындар болмаған кезде тепе-теңдік жағдайында болады, бірақ оған тас лақтырылған кезде бөлшектердің тепе-теңдігі бұзылып, толқындардың қозғалысы басталады.
  2. Толқынның бұзылуы, немесе насихаттайды, белгілі жылдамдықпен, деп аталады толқын жылдамдығы (v).
  3. Толқындар энергияны тасымалдайды, бірақ маңызды емес. Ортаның өзі жүрмейді; жеке бөлшектер тепе-теңдік жағдайында артқа-артқа немесе жоғары-төмен қозғалысқа түседі.

Толқын функциясы

Толқындық қозғалысты математикалық түрде сипаттау үшін а ұғымына жүгінеміз толқындық функция, кез-келген уақытта бөлшектердің ортадағы орнын сипаттайтын. Толқындық функциялардың ең негізгісі - бұл синусоидалы толқын, немесе a мерзімді толқын (яғни қайталанатын қозғалысы бар толқын).

Толқындық функция физикалық толқынды бейнелемейтінін, керісінше тепе-теңдік позициясы туралы ығысудың графигін атап өткен жөн. Бұл шатастыратын тұжырымдама болуы мүмкін, бірақ пайдалы нәрсе, біз синусоидалы толқынның көмегімен кезеңдік қозғалыстарды, мысалы, шеңберде қозғалу немесе маятникті бұру сияқты бейнелерді бейнелеу үшін пайдалана аламыз, олар нақты көрінген кезде толқын тәрізді көрінбейді. қозғалыс.

Толқындық функцияның қасиеттері

  • толқын жылдамдығы (v) - толқынның таралу жылдамдығы
  • амплитудасы (А) - тепе-теңдіктен жылжудың максималды мәні, SI метр бірлікте. Жалпы, бұл толқынның тепе-теңдік ортасынан оның максималды ығысуына дейінгі қашықтық немесе ол толқынның толық жылжуының жартысына тең.
  • кезеңі (Т) - бұл бір толқындық циклдің уақыты (екі импульс, немесе өрістен бастап шоққа дейін немесе люкске дейін), SI секунд бірліктерінде (бірақ оны «бір циклге секунд» деп атауға болады).
  • жиілігі (е) - уақыт бірлігіндегі цикл саны. SI жиілік бірлігі - герц (Гц) және
    1 Гц = 1 цикл / с = 1 с-1
  • бұрыштық жиілік (ω) - 2π жиіліктен бірнеше есе, секундына SI радиан бірлігінде.
  • толқын ұзындығы (λ) - кез-келген екі нүктенің арасындағы қашықтық, толқынның кезекті қайталануы бойынша, мысалы (мысалы) бір шыңнан немесе екіншіден екіншіге дейін, SI метр бірліктерінде.
  • толқын нөмірі (к) - деп те атайды таралу тұрақты, бұл пайдалы мөлшер 2 деп анықталған π толқын ұзындығына бөлінеді, сондықтан SI бірліктері метрге радиан құрайды.
  • импульс - бір жарым толқын ұзындығымен, тепе-теңдіктен кері

Жоғарыда көрсетілген шамаларды анықтауда кейбір пайдалы теңдеулер:

v = λ / Т = λ f

ω = 2 π f = 2 π/Т

Т = 1 / е = 2 π/ω

к = 2π/ω

ω = vk

Нүктенің толқындағы тік орналасуы, у, көлденең позицияның функциясы ретінде табуға болады, хжәне уақыт, т, қараған кезде. Бұл жұмысты біз үшін жасаған математиктерге алғыс айтамыз және толқындардың қозғалысын сипаттау үшін келесі пайдалы теңдеулерді аламыз:

у(х, т) = А күнә ω(т - х/v) = А күнә 2π f(т - х/v)

у(х, т) = А күнә 2π(т/Т - х/v)

у (х, т) = А күнә (ω т - кх)

Толқын теңдеуі

Толқындық функцияның соңғы ерекшелігі - екінші туынды алу үшін есептеуді қолдану нәтижесін береді толқын теңдеуі, бұл қызықты және кейде пайдалы өнім (тағы бір рет біз математиктерге алғыс айтамыз және оны дәлелдемей қабылдаймыз):

д2у / dx2 = (1 / v2) д2у / дт2

Екінші туынды у құрметпен х екінші туындысына тең болады у құрметпен т толқын жылдамдығының квадратына бөлінеді. Бұл теңдеудің маңыздылығы мынада ол болған кезде, біз функция екенін білеміз у толқынның жылдамдығымен қозғалады v және, демек, жағдайды толқындық функцияның көмегімен сипаттауға болады.