Қызықты

Бір орамдағы Yahtzee-де кішігірім түзудің ықтималдығы

Бір орамдағы Yahtzee-де кішігірім түзудің ықтималдығы

Yahtzee - бұл бес стандартты алты жақты зарарды қолданатын сызғыш ойыны. Әр бұрылыста ойыншыларға бірнеше түрлі мақсаттарға жету үшін үш орам беріледі. Әрбір орамнан кейін ойыншы тіндердің қайсысын (бар болса) сақтау керек және қайсысын қайта қарау керектігін шеше алады. Мақсаттар покерден алынған әр түрлі комбинацияларды қамтиды. Әр түрлі комбинация әр түрлі баллға тұрарлық.

Ойыншылар айналдыру керек комбинациялардың екі түрін түзу деп атайды: кішкентай түзу және үлкен түзу. Покер стриттері сияқты, бұл комбинациялар дәйекті бөлшектерден тұрады. Шағын бұтақтардың бесеуінің төртеуі қолданылады, ал үлкен шөгінділер барлық бес шертулердің барлығын қолданады. Жыртылған доңғалақтың кездейсоқ болуына байланысты ықтималдылықты кішкене түзу бір орамаға орау қаншалықты мүмкін екенін талдау үшін қолдануға болады.

Болжамдар

Біз қолданылған кесектер бір-бірінен тәуелсіз және әділетті деп санаймыз. Осылайша бес кесектің барлық мүмкін орамдарынан тұратын бірыңғай үлгі кеңістігі бар. Yahtzee үш орамға рұқсат берсе де, қарапайымдылығы үшін біз кішкене түзуді тек бір орамда қарастырамыз.

Үлгі кеңістігі

Біз бірыңғай үлгі кеңістігімен жұмыс істейтіндіктен, біздің ықтималдықты есептеу екі санау есебінің есебіне айналады. Кішкентай түзудің ықтималдығы - бұл үлгіні кеңістіктегі нәтижелер санына бөліп, кішкене түзуді айналдыру тәсілдерінің саны.

Үлгі кеңістігінде нәтижелер санын санау өте оңай. Біз бес жыртқышты айналдырып жатырмыз, және олардың әрқайсысында алты түрлі нәтиженің бірі болуы мүмкін. Көбейту принципінің негізгі қолданылуы үлгі кеңістігінің 6 x 6 x 6 x 6 x 6 = 6 болатындығын айтады5 = 7776 нәтиже. Бұл сан біздің ықтималдылығымыз үшін қолданатын бөлшектердің анықтаушысы болады.

Түзулер саны

Әрі қарай, кішкене түзу жасаудың қанша әдісі бар екенін білуіміз керек. Үлгі кеңістігінің мөлшерін есептеуден гөрі қиынырақ. Біз қанша қиыншылықты есептеуден бастаймыз.

Кішкене түзу үлкен түзуден гөрі оңай айналады, алайда осы түзу түрін айналдыру тәсілдерін санау қиынырақ. Кішкентай түзу дәл төрт реттік саннан тұрады. Өлімнің алты түрлі қырлары болғандықтан, үш мүмкін кішігірім бұталар бар: {1, 2, 3, 4}, {2, 3, 4, 5} және {3, 4, 5, 6}. Бесінші өліммен не болатынын қарастыруда қиындық туындайды. Осы жағдайлардың әрқайсысында бесінші өлім үлкен түзуді жасамайтын сан болуы керек. Мысалы, егер алғашқы төрт кесек 1, 2, 3 және 4 болса, бесінші өлім 5-тен басқа нәрсе болуы мүмкін, егер бесінші өлім 5-ке тең болса, онда біз кішкентай түзу емес, үлкен түзу алатын едік.

Бұл кішігірім {1, 2, 3, 4} беретін бес мүмкін орама, {3, 4, 5, 6} кішкентай түзуді беретін бес мүмкін орама және кішкентай түзуді беретін төрт мүмкін орама бар екенін білдіреді. 2, 3, 4, 5}. Бұл соңғы жағдай өзгеше, өйткені бесінші өлім үшін 1 немесе 6-ны айналдыру үлкен түзуге айналады {2, 3, 4, 5}. Бұл бес дана кішкентай түзу бере алатын 14 түрлі әдіс бар екенін білдіреді.

Енді біз түзу беретін белгілі бір бөлшектерді жинау тәсілдерінің әр түрлі санын анықтаймыз. Мұны істеудің қанша әдісі бар екенін білу керек болғандықтан, санаудың негізгі әдістерін қолдана аламыз.

Кішігірім бұталарды алудың 14 нақты тәсілінің тек екеуі ғана {1,2,3,4,6} және {1,3,4,5,6} элементтері бар жиынтықтар болып табылады. 5 бар! = Әрқайсысын 2 x 5-ке ораудың 120 әдісі! = 240 кіші бұқа.

Кішкентай түзудің басқа 12 әдісі - техникалық мультисет, өйткені олардың барлығында бірнеше элемент бар. 1,1,2,3,4 сияқты нақты бір мультисет үшін біз санның әр түрлі тәсілдерін есептейміз. Кескінді қатардағы бес позиция деп ойлаңыз:

  • Екі қайталанған элементті бес шертпектің арасына орналастырудың C (5,2) = 10 тәсілі бар.
  • 3 бар! = Үш бөлек элементті ұйымдастырудың 6 тәсілі.

Көбейту қағидасы бойынша 1,1,2,3,4 кесінділерін бір орамға айналдырудың 6 x 10 = 60 түрлі әдісі бар.

Осындай кішкентай біреуін дәл осы бесінші өліммен айналдырудың 60 әдісі бар. Әр түрлі бес тізбектің тізімін беретін 12 мультисет болғандықтан, екі дана сәйкес келетін кішкене түзудің 60 х 12 = 720 әдісі бар.

Барлығы 2 x 5! + 12 x 60 = Кішкене түзу жүргізудің 960 әдісі.

Ықтималдық

Енді кішкентай түзуді айналдыру ықтималдығы қарапайым бөлуді есептеу болып табылады. Кішкене түзуді бір орамаға айналдырудың 960 түрлі әдісі болғандықтан және бес данадағы 7776 орама мүмкін болғандықтан, кішкентай түзу дөңгелектеу ықтималдығы 960/7776, ол 1/8 және 12,3% құрайды.

Әрине, бірінші орамның түзу емес екеніне қарағанда. Егер бұл болса, бізге кішкене түзуді ықтимал ететін тағы екі орамаға рұқсат етіледі. Мұның ықтималдылығын анықтау қиынырақ, өйткені барлық ықтимал жағдайларды ескеру қажет.