Қызықты

Де Морган заңдарын қалай дәлелдеуге болады

Де Морган заңдарын қалай дәлелдеуге болады

Математикалық статистика мен ықтималдықта жиынтық теориясымен танысу маңызды. Жинақталған теорияның қарапайым әрекеттері ықтималдылықты есептеудегі белгілі ережелермен байланысы бар. Бірлестіктің, қиылыстың және комплементтің осы қарапайым жиынтықтарының өзара әрекеттесуі екі мәлімдеме арқылы түсіндіріледі Де Морган заңдары. Осы заңдарды айтқаннан кейін біз оларды қалай дәлелдеуге болатынын көреміз.

Де Морган заңдарының тұжырымы

Де Морган заңдары одақтың өзара әрекеттесуіне, қиылысуы мен толықтырылуына қатысты. Еске салайық:

  • Жиындардың қиылысы А және Ә екіге де ортақ барлық элементтерден тұрады А және Ә. Қиылыс белгісі белгіленеді АӘ.
  • Жиындар одағы А және Ә екі элементтен тұрады А немесе Ә, екі жинақтағы элементтерді қосқанда. Қиылыс A U B белгісімен белгіленеді.
  • Жинақтың толықтырушысы А элементтері жоқ барлық элементтерден тұрады А. Бұл толықтыруды А әрпі белгілейдіC.

Енді біз осы қарапайым әрекеттерді еске түсіргенде, біз Де Морган заңдарының тұжырымын көреміз. Әрбір жұп жиынтық үшін А және Ә

  1. (А ∩ Ә)C = АC Ұ ӘC.
  2. (А Ұ Ә)C = АC ∩ ӘC.

Дәлелдеу стратегиясының құрылымы

Дәлелге кіріспес бұрын, жоғарыдағы мәлімдемелерді қалай дәлелдеу туралы ойланамыз. Біз екі жиынның бір-біріне тең екенін көрсетуге тырысамыз. Мұны математикалық дәлелдеудің әдісі екі есе қосу әдісі. Бұл дәлелдеу әдісінің құрылымы:

  1. Біздің теңдік белгісіміздің сол жағындағы жиын оң жақтағы жиынның жиынтығы екенін көрсетіңіз.
  2. Оң жақтағы жиын сол жақтағы жиынның жиынтығы екенін көрсетіп, процесті кері бағытта қайталаңыз.
  3. Бұл екі қадам жиынтықтар бір-біріне тең деп айтуға мүмкіндік береді. Олар барлық бірдей элементтерден тұрады.

Заңдардың біреуін дәлелдеу

Жоғарыда Де Морганның алғашқы заңдарын қалай дәлелдеуге болатынын көреміз. Біз мынаны көрсетуден бастаймыз (А ∩ Ә)C жиынтығы болып табылады АC Ұ ӘC.

  1. Алдымен осылай делік х элементі болып табыладыА ∩ Ә)C.
  2. Бұл дегеніміз х элемент емесА ∩ Ә).
  3. Қиылыс - бұл екеуіне де ортақ барлық элементтер жиынтығы А және Ә, алдыңғы қадам осыны білдіреді х екеуінің де элементі бола алмайды А және Ә.
  4. Бұл дегеніміз х жиындардың кем дегенде біреуінің элементі болуы керек АC немесе ӘC.
  5. Анықтама бойынша бұл дегеніміз х элементі болып табылады АC Ұ ӘC
  6. Біз қалаған ішкі жиынтық қосылуды көрсеттік.

Біздің дәлелі қазір жартылай жасалды. Оны аяқтау үшін біз қарама-қарсы ішкі қосындыны көрсетеміз. Нақтырақ айтсақ, көрсету керек АC Ұ ӘC жиынтығы (А ∩ Ә)C.

  1. Біз элементтен бастаймыз х жиынында АC Ұ ӘC.
  2. Бұл дегеніміз х элементі болып табылады АC немесе сол х элементі болып табылады ӘC.
  3. Осылайша х жиынтықтардың кем дегенде біреуінің элементі емес А немесе Ә.
  4. Сонымен х екеуінің де элементі бола алмайды А және Ә. Бұл дегеніміз х элементі болып табыладыА ∩ Ә)C.
  5. Біз қалаған ішкі жиынды қосуды көрсеттік.

Басқа заңды дәлелдеу

Басқа тұжырымның дәлелі біз жоғарыда келтірген дәлелдеуге өте ұқсас. Мұның бәрі тең белгінің екі жағында жиынтықтардың ішкі жиынтығын көрсету болып табылады.


Video, Sitemap-Video, Sitemap-Videos