Қызықты

Биномдық үлестірімнің күтілетін мәні

Биномдық үлестірімнің күтілетін мәні

Биномдық үлестіру дискретті ықтималдылықты үлестірудің маңызды класы болып табылады. Бөлудің бұл түрлері бірқатар болып табылады n тәуелсіз Бернулли сынақтары, олардың әрқайсысы үнемі ықтималдығы бар б сәттілік. Кез-келген ықтималдылықты бөлу сияқты біз оның мәні не орталығы екенін білгіміз келеді. Бұл үшін біз шынымен «биномдық үлестірімнің күтілетін мәні қандай?» Деп сұраймыз.

Дәлелдемеге қарсы интуиция

Егер биномдық үлестіру туралы мұқият ойластыратын болсақ, ықтималдылықты үлестірудің осы түрінің күтілетін мәні қанша болатындығын анықтау қиын емес. np. Мұның бірнеше мысалдары үшін келесілерді қарастырыңыз:

  • Егер біз 100 тиынды лақтырсақ, және Х бастар саны, күтілетін мәні Х болып табылады 50 = (1/2) 100.
  • Егер біз 20 сұрақтан тұратын бірнеше тестілеуді өткізіп жатсақ және әр сұрақтың төрт таңдауы болса (оның тек біреуі ғана дұрыс), онда кездейсоқ болжау дегеніміз, біз (1/4) 20 = 5 сұрақ дұрыс жауап алуымызды білдіреді.

Осы екі мысалда біз мұны көремізE X = n p. Екі жағдай бір тұжырымға жету үшін жеткіліксіз. Интуиция бізді жетелеудің жақсы құралы болғанымен, математикалық дәлелдеуді қалыптастыру және бір нәрсенің рас екенін дәлелдеу жеткіліксіз. Бұл үлестірімнің күтілетін мәні шынымен қалай екенін біз қалай дәлелдейміз? np?

Күтілетін шаманы және биномдық үлестірімнің ықтималдық функциясын анықтаудан n сәттілік ықтималдығы сынақтары б, біз түйсігі математикалық қатаңдықтың жемістерімен сәйкес келетінін көрсете аламыз. Біз жұмысымызда біршама абай болуымыз керек және комбинация формуласымен берілген биномдық коэффициентті басқаруда ұқыпты болуымыз керек.

Біз формуланы қолдана бастаймыз:

E X = Σ х = 0n x C (n, x) pх(1-бет)n - x.

Есептеудің әр мерзімі көбейтіледі х, сәйкес келетін терминнің мәні х = 0 0 болады, сондықтан біз нақты жаза аламыз:

E X = Σ х = 1n x C (n, x) p х (1 - б) n - x .

Бұл үшін өрнектеуге қатысатын факторларды басқару арқылы C (n, x) қайта жаза аламыз

x C (n, x) = n C (n - 1, x - 1).

Бұл дұрыс, себебі:

x C (n, x) = xn! / (x! (n - x)!) = n! / ((x - 1)! (n - x)!) = n (n - 1)! / (( x - 1)! ((n - 1) - (x - 1))!) = n C (n - 1, x - 1).

Бұдан шығады:

E X = Σ х = 1n n C (n - 1, x - 1) б х (1 - б) n - x .

Біз факторды анықтаймыз n және бір б жоғарыдағы өрнектен:

E X = np Σ х = 1n C (n - 1, x - 1) б х - 1 (1 - б) (n - 1) - (x - 1) .

Айнымалылардың өзгеруі r = x - 1 бізге береді:

E X = np Σ r = 0n - 1 C (n - 1, r) б р (1 - б) (n - 1) - r .

Биномдық формула бойынша, (x + y)к = Σ r = 0 кC (k, r) xр ук - р Жоғарыда келтірілген қорытындыды қайта жазуға болады:

E X = (np) (p + (1 - p))n - 1 = np.

Жоғарыдағы дәлел бізді ұзақ жолға түсірді. Басынан бастап биномдық үлестірім үшін күтілетін шаманы және ықтималдылықтың функциясын анықтаудан бастап, біз түйсінуіміздің айтқанын дәлелдедік. Биномдық үлестірімнің күтілетін мәні B (n, p) болып табылады n б.


Video, Sitemap-Video, Sitemap-Videos